Question

如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中点．正三棱柱的正（主）视图如图（2）．

（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）证明：A₁B∥平面ADC₁；
（3）图（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明．

Answer 1

分析：（1）直接求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC的面积，求出高AA₁，即可求出体积；
（2）连接A₁C，证明A₁B平行平面ADC₁内的直线DE，即可证明A₁B∥平面ADC₁．
（3）通过直线与平面垂直，说明平面与平面垂直，直接列举出图（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面即可．

解答：证明：（1）依题意，在正三棱柱中，AD=

3

，
AA₁=3，从而AB=2，AA₁⊥平面ABC，
所以正三棱柱的体积V=Sh=

1

2

×AB×AD×AA1=

1

2

×2×

3

×3=3

3

．
（2）连接A₁C，设A₁C∩AC₁=E，
连接DE，因为AA₁C₁C是正三棱柱的侧面，
所以AA₁C₁C是矩形，E是A₁C的中点，
所以DE是△A₁BC的中位线，DE∥A₁B，
因为DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．
（3）AD垂直平面BCC₁B₁，AD?平面ABC、平面ABC∥平面A₁B₁C₁、AD?平面AC₁D
所以垂直于平面BCC₁B₁的平面有：平面ABC、平面A₁B₁C₁、平面AC₁D．

点评：本题考查棱柱的结构特征，平面与平面垂直的判断，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．