Question

（2011•南昌三模）如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中点，正三棱柱的正（主）视图如图（2）．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）证明：A₁B∥平面ADC₁；

Answer 1

分析：（1）直接求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC的面积，求出高AA₁，即可求出体积；
（2）连接A₁C，证明A₁B平行平面ADC₁内的直线DE，即可证明A₁B∥平面ADC₁．

解答：证明：（1）依题意，在正三棱柱中，AD=

3

，
AA₁=3，从而AB=2，AA₁⊥平面ABC，
所以正三棱柱的体积 V=Sh=

1

2

×AB×AD×AA1=

1

2

×2×

3

×3=3

3

．
（2）连接A₁C，设A₁C∩AC₁=E，
连接DE，因为AA₁C₁C是正三棱柱的侧面，
所以AA₁C₁C是矩形，E是A₁C的中点，
所以DE是△A₁BC的中位线，DE∥A₁B，
因为DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．

点评：本题考查棱柱的结构特征，平面与平面垂直的判断，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．