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(2011•南昌三模)已知数列{an}满足a1=1,an=a1+
1
2
a2+
1
3
a3+…+
1
n-1
an-1(n>1)

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设An为数列{
4an-1
4an
}
的前n项积,是否存在实数a,使得不等式An
4an+1
<a
对一切n∈N*都成立?若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.
分析:(1)先求a2,然后求出an+1的表达式,两式作差可得an+1-an=
1
n
an
(n≥2),从而求出数列{an}的通项公式;
(2)令 g(n)=An
2n+1
=
2n+1
(1-
1
4a1
)(1-
1
4a2
)
(1-
1
4an
)
,然后判定g(n)的单调性,求出最大值,使a大于最大值即可.
解答:解:(1)∵a1=1,an=a1+
1
2
a2+
1
3
a3+…+
1
n-1
an-1(n>1)

∴a2=a1=1
an+1=a1+
1
2
a2+
1
3
a3+…+
1
n-1
an-1+
1
n
an(n>1)

∴an+1-an=
1
n
an
(n≥2)
an+1
n+1
=
an
n
(n≥2)

an
n
=
an-1
n-1
=
a2
2
=
1
2
an=
n
2
(n≥2)

an=
1   n=1
n
2
  n≥2

(2)据已知 An=(1-
1
4a1
)(1-
1
4a2
)
(1-
1
4an
)

则:g(n)=An
2n+1
=
2n+1
(1-
1
4a1
)(1-
1
4a2
)
(1-
1
4an
)

g(n+1)
g(n)
=(1-
1
4an+1
)
2n+3
2n+1
=
(2n+1)
2n+3
(2n+2)
2n+1
≤1
故n>1时,g(n)单调递减,于是 [g(n)]max=g(2)=
9
5
16

又g(1)=
3
3
4
9
5
16
=g(2)
要使不等式An
4an+1
<a
对一切n∈N*都成立只需a>
3
3
4
即可.
点评:本题主要考查了数列与不等式的综合运用,以及恒成立问题,同时考查了计算能力,属于中档题.
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5
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5
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