Question

（2011•南昌三模）已知函数y=f（x）满足f（3x）=3f（x），当1＜x＜3时，f（x）=1-|x-2|，那么x∈[1，3ⁿ]，n∈N^*时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积为

9n-1

8

．

Answer 1

分析：由已知中当1＜x＜3时，f（x）=1-|x-2|，函数y=f（x）满足f（3x）=3f（x），我们可以分别求出x∈[3^n-1，3ⁿ]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S_n-1，代入等比数列前n项和公式，即可得到答案．

解答：解：∵函数y=f（x）满足f（3x）=3f（x），
又∵当x∈[1，3]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S₁=

1

2

•(3-1)•1=1，
∴当x∈[3¹，3²]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S₂=

1

2

•(3 2-3 1)•3 1=9，
当x∈[3²，3³]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S₃=

1

2

•(3 3-3 2)•3 2=81，
…
当x∈[3^n-1，3ⁿ]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S_n-1=

1

2

•(3 n-3 n-1)•3 n-1=3^2n-2
此时函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S=S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=

9n-1

8

故答案为：

9n-1

8

点评：本题考查的知识点是等比数列的前n项和，其中根据已知条件，确定出当x∈[3^n-1，3ⁿ]时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积，成等比数列，并求出其通项公式，是解答本题的关键．