Question

3．已知直线l与曲线f（x）=x²-3x+2+2lnx相切，则直线l倾斜角的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，由基本不等式求得斜率的最小值，再由斜率的公式，即可得到倾斜角的最小值．

解答 解：f（x）=x²-3x+2+2lnx的导数为
f′（x）=2x-3+$\frac{2}{x}$，（x＞0），
即有直线l的斜率为k=2（x+$\frac{1}{x}$）-3，
由x+$\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=1时取得最小值2，
则k≥1，
由k=tanα≥1，可得倾斜角α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
即有最小值为$\frac{π}{4}$．
故选B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角与斜率的关系，以及基本不等式的运用，属于中档题．