Question

15．已知M=ab+1，N=a+b，Q=$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$，a，b∈R．
（1）证明：当a＞1，b＞1时，M＞N；
（2）若a+b=2，b＞0，求当Q取最小值时a的值．

Answer 1

分析 （1）通过a＞1、b＞1可知要证M＞N，只需证M²＞N²，即证a²b²+1＞a²+b²，即证a²（b²-1）＞b²-1，而这显然成立；
（2）通过b＞0可知$\frac{|a|}{b}$＞0，利用基本不等式可知当且仅当$\frac{b}{4|a|}$=$\frac{|a|}{b}$时Q-$\frac{a}{4|a|}$取最小值，进而计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a＞1、b＞1，
∴M=ab+1＞2，N=a+b＞2，
∴要证M＞N，只需证M²＞N²，
即证：（ab+1）²＞（a+b）²，
即证：a²b²+1＞a²+b²，
整理得：a²（b²-1）＞b²-1，
而这显然成立，故M＞N；
（2）解：∵b＞0，
∴$\frac{|a|}{b}$＞0，
∴Q=$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$=$\frac{a+b}{4|a|}$+$\frac{|a|}{b}$=$\frac{a}{4|a|}$+$\frac{b}{4|a|}$+$\frac{|a|}{b}$，
∵$\frac{b}{4|a|}$+$\frac{|a|}{b}$≥2$\sqrt{\frac{b}{4|a|}•\frac{|a|}{b}}$=1，当且仅当$\frac{b}{4|a|}$=$\frac{|a|}{b}$时取最小值，此时b²=4|a|²，
∴当Q取最小值时a＜0，即b=-2a，
又∵a+b=2，
∴a-2a=2，即a=-2．

点评 本题考查不等式的证明，利用基本不等式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．