Question

已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，两条准线间的距离为6，椭圆的左焦点为F，过左焦点与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C．
（1）求椭圆W的方程；
（2）求证：．

Answer 1

（1）解：设椭圆W的方程为：=1（a＞b＞0），由题意可知，a²=b²+c²，2×=6，解得a=，c=2，b=，所以椭圆W的方程为．
（2）证明：因为左准线方程为x=-=-3，所以点M坐标为（-3，0）．
于是可设直线l的方程为y=k（x+3），点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则点C的坐标为（x₁，-y₁），y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．
由椭圆的第二定义可得 ==，
所以B，F，C三点共线，即．
分析：（1）根据离心率，准线和a，b和c的关系，联立方程求得a，b和c，即可求得椭圆的方程；
（2）根据准线方程可求得M的坐标，设直线l的方程为y=k（x+3），根据椭圆的第二定义判断出B，F，C三点共线，即可证得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义与性质，解题的关键是熟练运用椭圆的定义与性质．