Question

设数列a_n、b_n、c_n的前n项和分别为S_n、T_n、R_n，对?n∈N*，a_n=5S_n+1，bn=

4+an

1-an

，c_n=b_2n-b_2n-1．
①求a_n的通项公式；
②求证：Rn＜

3

2

；
③若T_n＜λn，对?n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：①由a_n=5S_n+1得a₁=5S₁+1=5a₁+1，a1=-

1

4

．n＞1时，a_n-1=5S_n-1+1，由此能求出a_n．
②bn=

4+an

1-an

=

4×(-4)n+1

(-4)n-1

=4+

5

(-4)n-1

，cn=b2n-b2n-1=

5

16n-1

+

20

16n+4

c1=

4

3

，cn=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

=

25×16n

162n+3×16n-4

＜

25

16n

，由此能够证明Rn＜

3

2

．
③由T_n＜λn得λ＞

Tn

n

，Tn=4n+5×[

1

-4-1

+

1

42-1

+

1

-43-1

++

1

(-4)n-1

]，由此进行分类讨论能够得到λ的取值范围是．

解答：解：①由a_n=5S_n+1得a₁=5S₁+1=5a₁+1，a1=-

1

4

．n＞1时，a_n-1=5S_n-1+1，
两式相减得a_n-a_n-1=5（S_n-S_n-1）=5a_n，an=-

1

4

an-1，
所以an=(-

1

4

)n．
②bn=

4+an

1-an

=

4×(-4)n+1

(-4)n-1

=4+

5

(-4)n-1

，
cn=b2n-b2n-1=

5

16n-1

+

20

16n+4

c1=

4

3

，
cn=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

=

25×16n

162n+3×16n-4

＜

25

16n

，
从而Rn=

4

3

+c2++cn＜

4

3

+

25

162

+

25

163

++

25

16n

=

4

3

+

25

162

×

1- 1 16n-1

1- 1 16

＜

4

3

+

25

162

×

16

15

＜

3

2

．
③由T_n＜λn得λ＞

Tn

n

，Tn=4n+5×[

1

-4-1

+

1

42-1

+

1

-43-1

++

1

(-4)n-1

]，
若n=2k-1（k∈N^*）是奇数，
则T_n≥4n-1，λ＞

Tn

n

当且仅当λ≥4；
若n=2k（k∈N^*）是偶数，b2m-1+b2m=8+

5

(-4)2m-1-1

+

5

(-4)2m-1

=8+

-15×42m

(42m-1)(42m+4)

＜8，
T_n＜4n，即当λ≥4时有T_n＜λn．
综上所述，λ的取值范围是[4，+∞）．

点评：多个数列通常意味着多种形式的数列、多层次问题，解题通常需要有开阔的视野和思路，能适当选择、适时转换，关键是用等差等比数列性质处理好“起始”数列，不等式的处理则要求适度“放大”或“缩小”，处理好端点．