Question

已知圆C：x²+（y-4）²=1，直线l：3x+4y-6=0：
（1）圆C与直线l的位置关系为

相离

；
（2）当点P在直线l：3x+4y-6=0上运动时，过点P作圆C的切线，切点为A、B，记四边形PACB的面积是f（p）．则f（p）的最小值为

3

．

Answer 1

分析：（1）求出圆心C（0，4）到直线l的距离d，由于d大于半径，所以圆C与直线l的位置关系为相离．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），由题知3x₀+4y₀-6=0，如图右，且易知S四边形PACB=2S△PBC=

PC2-1

，即|PC|有最小值时，函数f（p）有最小值，而|PC|_min=d=2，
由此求得f（p）的最小值．

解答：解：（1）由题易知圆心C（0，4）到直线l的距离为d=

|3×0+4×4-6|

5

=2＞1=r，所以圆C与直线l的位置关系为相离，
故答案为 相离．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），由题知3x₀+4y₀-6=0，如图右，
且易知S四边形PACB=2S△PBC=PB×r=

PC2-r2

×r=

PC2-1

即|PC|有最小值时，函数f（p）有最小值．
显然|PC|_min=d=2，也所以有f(p)min=

22-1

=

3

；

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．