Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=

6

，AP=4AF．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求

BM

BP

的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明PO⊥底面ABCD，只需证明PO⊥AC，PO⊥BD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出直线CP的方向向量，平面BDF的法向量，利用向量的夹角公式可求直线CP与平面BDF所成角的大小；
（Ⅲ）设

BM

BP

=λ（0≤λ≤1），若使CM∥平面BDF，需且仅需

.

CM

•

n

=0且CM?平面BDF，即可得出结论．

解答：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，
所以O为AC，BD中点．-------------------------------------（1分）
又因为PA=PC，PB=PD，
所以PO⊥AC，PO⊥BD，---------------------------------------（3分）
所以PO⊥底面ABCD．----------------------------------------（4分）
（Ⅱ）解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，
又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
由△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=

6

，
可得PO=

3

，OB=OD=

3

．
所以A(1，0，0)，C(-1，0，0)，B(0，

3

，0)，P(0，0，

3

)．---------------------------------------（5分）
所以

CP

=(1，0，

3

)，

AP

=(-1，0，

3

)．
由已知可得

OF

=

OA

+

1

4

AP

=(

3

4

，0，

3

4

)-----------------------------------------（6分）
设平面BDF的法向量为

.

n

=（x，y，z），则

3 y=0 3 4 x+ 3 4 z=0

令x=1，则z=-

3

，所以

n

=（1，0，-

3

）．----------------------------------------（8分）
因为cos＜

CP

，

n

＞=

CP • n

| CP || n |

=-

1

2

，----------------------------------------（9分）
所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为

1

2

，
所以直线CP与平面BDF所成角的大小为30°．-----------------------------------------（10分）
（Ⅲ）解：设

BM

BP

=λ（0≤λ≤1），则

CM

=

CB

+

BM

=

CB

+λ

BP

=(1，

3

(1-λ)，

3

λ)．---------------------------------（11分）
若使CM∥平面BDF，需且仅需

.

CM

•

n

=0且CM?平面BDF，---------------------（12分）
解得λ=

1

3

∈[0，1]，----------------------------------------（13分）
所以在线段PB上存在一点M，使得CM∥平面BDF．
此时

BM

BP

=

1

3

．-----------------------------------（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出向量的坐标是关键．