Question

（2008•宝山区二模）已知点A（1，2），过点P（5，-2）的直线与抛物线y²=4x相交于B，C两点，则△ABC是（　　）

A．直角三角形

B．钝角三角形

C．锐角三角形

D．不能确定

Answer 1

分析：先讨论直线BC斜率不存在时，求出B，C的坐标，求出AB、AC斜率，求出k_AB•k_AC=-1，得到三角形ABC是直角三角形，当BC斜率存在时设出其方程，联立BC的方程与抛物线的方程，利用韦达定理，表示出AB、AC斜率，求出k_AB•k_AC=-1，得到三角形ABC是直角三角形．

解答：解：当BC斜率不存在时，方程为x=5，
代入抛物线方程y²=4x得
B(5，2

5

)，C(5，-2

5

)
所以AB斜率是kAB=

2 5 -2

5-1

=

5 -1

2

，
AC斜率是kAC=

-2 5 -2

5-1

=

- 5 -1

2

所以k_AB•k_AC=-1，
所以AB与AC垂直，
所以三角形ABC是直角三角形当BC斜率存在时，显然不能为0，否则与抛物线只有一个公共点，
所以设方程为x-5=a（y+2）（a是斜率的倒数），
代入抛物线方程化简得y²-4ay-8a-20=0 设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4a，y₁y₂=-8a-20 x₁+x₂=（ay₁+2a+5）+（ay₂+2a+5）=a（y₁+y₂）+4a+10=4a²+4a+10 x₁x₂=（ay₁+2a+5）（ay₂+2a+5）=4a²+20a+25 kAB•kAC=

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

因为（y₁-2）（y₂-2）=y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=-16a-16 （x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=16a+16 所以AB和AC斜率乘积等于-1，
即AB垂直于AC．综上可知，三角形ABC是直角三角形
故选A．

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般讲直线的方程与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理找突破口．