Question

如图，已知双曲线，其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B．过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足，．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a=2，过点B作直线l分别交双曲线的左支、右支于M、N两点，且△OMN的面积S_△OMN=，求l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求双曲线的离心率，只需找到含a，c的齐次式，由已知，易求P点坐标，根据，可判断D点为FP的中点，再根据可找到a，b的关系，进而转化为含a，c的等式，即可求出离心率e的值．
（2）当a=2时，根据（1）中所求离心率，可求出b的值，进而求出双曲线方程，根据直线MN过B点，设出直线MN的方程，与双曲线方程联立，解出x₁+x₂，x₁x₂，△OMN被y轴分成两个三角形，分别求出面积，再相加，即为△OMN的面积，让其等于题目中所给的值，可得到关于直线l的斜率k的方程，解出k即可．
解答：解：（1）∵B（0，-b）
∵，即D为线段FP的中点．，
∴
，即A、B、D共线．
而  ，，
∴，得a=2b，
∴

（2）∵a=2，而，∴b²=1，
故双曲线的方程为…①
∴B、的坐标为（0，-1）

设l的方程为y=kx-1…②
②代入①得（1-4k²）x²+8kx-8=0
由题意得：得：
设M、N的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）
则
而==
整理得24k⁴-11k²+1=0，解得：或（舍去）
∴所求l的方程为
点评：本题主要考查了双曲线离心率的求法，以及直线与 双曲线位置关系的应用．