精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
精英家教网如图,已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)其右准线交x轴于点A,双曲线虚轴的下端点为B,过双曲线的右焦点F(c,0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,若点D满足:2
OD
=
OF
+
OP
(O为原点)且
AB
AD
(λ≠0)

(1)求双曲线的离心率;
(2)若a=2,过点B的直线l交双曲线于 M、N两点,问在y轴上是否存在定点C,使?
CM
CN
为常数,若存在,求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.
分析:(1)先根据条求出A,B,P三点的坐标,结合2
OD
=
OF
+
OP
求出D的坐标,再根据
AB
AD
(λ≠0)
即可求出a和b之间的关系,进而求出曲线的离心率;
(2)先假设存在定点C(0,n)使C
M
•C
N
为常数u,设MN的方程为y=kx-1;联立直线方程与双曲线方程求出M,N的坐标与k之间的关系以及k所满足的范围;再求出
CM
CN
的值结合
CM
CN
为常数即可得出结论.
解答:解:(1)由题得B(0,-b),A(
a2
c
,0)易得P(c,
b2
a
)
,P(c,
b 2
a

∵2O
D
=O
F
+O
P

∴D为线段FP的中点  (1分)
∴D(c,
b2
2a
),又A
B
=λA
D

AB
AD
(λ≠0)

即A、B、D共线(2分)
∴而A
B
=(-
a2
c
,-b),A
D
=(c-
a2
c
b2
2a
)
?,
?∴-
a2
c
b2
2a
-(-b)•(c-
a2
c
)=0
得a=2b
∴e=
c
a
=
1+(
b
a
)2=
1+
1
4
=
5
2
(4分)?
(2)∵a=2而e=
5
2
b2=1

∴双曲线方程为
x2
4
-y2=1
①(5分)
∴B(0,-1)
假设存在定点C(0,n)使C
M
•C
N
为常数u,设MN的方程为y=kx-1   ②(6分)
由②代入①得(1-4k2)x2+8kx-8=0
由题意得
1-4k2≠0
△=64k2+32(1-4k2)>0
k2
1
2
k2
1
4

设M(x1,y1),N(x2,y2),
x1+x2=
8k
4k2-1
x1x2=
8
4k2-1
?(8分)
C
M
•C
N
=(x1y1-n)•(x2y2-n)=x1x2+y1y2-n(y1+y2)+n2
?
=(1+k2)x1x2-k(n+1)(x1+x2)+(n+1)2=
8(1+k2)
4k2-1
-
8k2(n+1)
4k2-1
+(n+1)2=u
?
整理得:[4(n+1)2-8n-4u]k2+[8-(n+1)2+u]=0     (10分)
对满足k2?
1
2
k2
1
4
的k恒成立

4(n+1)2-8n-4u=0
8-(n+1)2+u=0
解得n=4,u=17
故存在y轴上的定点C(0,4),使C
M
•C
N
为常数17    (14分)
点评:本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用,认真审题,仔细解答.其中问题(2)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(b>a>0)且a∈[1,2],它的左、右焦点为F1,F2,左右顶点分别为A、B.过F2作圆x2+y2=a2的切线,切点为T,交双曲线与P、Q两点.
(Ⅰ)求证直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直.
(Ⅱ)若M为PF2的中点,O为坐标原点,|OM|-|MT|=1,|PQ|=λ|AB|,求实数λ的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知双曲线x2-
y2
3
=1
,A,C分别是虚轴的上、下顶点,B是左顶点,F为左焦点,直线AB与FC相交于点D,则∠BDF的余弦值是(  )
A、
7
7
B、
5
7
7
C、
7
14
D、
5
7
14

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•上海)如图,已知双曲线C1
x2
2
-y2=1
,曲线C2:|y|=|x|+1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1-C2型点”
(1)在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线y=kx与C2有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1-C2型点”;
(3)求证:圆x2+y2=
1
2
内的点都不是“C1-C2型点”

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(上海卷解析版) 题型:填空题

如图,已知双曲线C1,曲线C2:|y|=|x|+1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1﹣C2型点“

(1)在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);

(2)设直线y=kx与C2有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1﹣C2型点”;

(3)求证:圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:湖北省模拟题 题型:解答题

如图,已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2)。
(1)求k的取值范围,并求x2-x1的最小值;
(2)记直线P1A1的斜率为k1,直线P2A2的斜率为k2,那么,k1·k2是定值吗?证明你的结论。

查看答案和解析>>

同步练习册答案