Question

如图，已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0）且a∈[1，2]，它的左、右焦点为F₁，F₂，左右顶点分别为A、B．过F₂作圆x²+y²=a²的切线，切点为T，交双曲线与P、Q两点．
（Ⅰ）求证直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直．
（Ⅱ）若M为PF₂的中点，O为坐标原点，|OM|-|MT|=1，|PQ|=λ|AB|，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据双曲线的性质表示出渐近线方程，设出PQ的方程，根据与圆相切求得圆心到直线的距离为半径求得k的表达式，进而把两渐近线的斜率相乘即可．
（Ⅱ）设出PF的直线方程与双曲线方程联立，消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用弦长公式表示出|PQ|，同时依题意可知|OM|=

1

2

|PF1|，|F2M|=

1

2

|PF2|，推断出|F₂M|-|MT|=a+1，进而求得b和a的关系式，然后利用|PQ|和|AB|，表示出λ，利用换元法令t=2a+1，利用函数的单调性求得λ的范围．

解答：解：（Ⅰ）双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的渐近线为y=±

b

a

x，
设直线PQ的方程为y=k（x-c），（不妨设k＜0），由于与圆x²+y²=a²相切，
∴

|kc|

k2+1

=a，即k2=

a2

b2

，直线PQ的斜率k=-

a

b

，
因为一三象限的渐近线为

b

a

，-

a

b

•

b

a

=-1．
所以直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直；
（Ⅱ）

y=k(x-c) x2 a2 - y2 b2 =1

得（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则

x1+x2= -2a2k2c b2-a2k2 x1x2= -a2k2c2-a2b2 b2-a2k2

，
所以|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2ab2(1+k2)

|b2-a2k2|

=

2ab2

b2-a2

，
因为|OM|=

1

2

|PF1|，|F2M|=

1

2

|PF2|，|F2M|-|OM|=

1

2

(|PF2|-|PF1|)=a，|OM|-|MT|=1，
代入上式得|F₂M|-|MT|=a+1，
又|F2M|-|MT|=|F2T|=

c2-a2

=b，
所以b=a+1．
因为|AB|=2a，|PQ|=

2ab2

b2-a2

，
λ=

b2

b2-a2

=

(a+1)2

2a+1

=

a2

2a+1

+1，
令t=2a+1，则a=

t-1

2

，t∈[3，5]，λ=

1

4

[t+

1

t

-2]+1，
因为t+

1

t

在[3，5]为增函数，所以λ∈[

4

3

，

9

5

]．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对解析几何学知识的综合运用．