已知是等差数列,为公差且不等于,和均为实数,它的前项和记作,设集合,,试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明.
(Ⅰ)若以集合中的元素作为点的坐标,则这些点都在一条直线上;
(Ⅱ)至多有一个元素;
(Ⅲ)当时,一定有.
解析:(Ⅰ)正确.
因为,在等差数列中,,所以,.
这表明点的坐标适合方程.
所以,点均在直线上. ……………………………………………5分
(Ⅱ)正确.
设,则坐标中的、应是方程组的解.
解这个方程组,消去,得.()
当时,方程()无解,此时,. ……………………………10分
当时,方程()只有一个解,
此时方程组也只有一个解,即
故上述方程组至多有一解,所以至多有一个元素. ………………………15分
(Ⅲ)不正确.
取,,对一切,有,.
这时集合中的元素的点的横、纵坐标均为正.
另外,由于,如果,那么根据(Ⅱ)的结论,
至多有一个元素(),而,.
这样的,产生矛盾.所以,,时,,
故时,一定有是不正确的. ……………………………………20分
科目:高中数学 来源:2014届江西省新课程高三上学期第二次适应性测试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知是等差数列,为其前项和,若,O为坐标原点,点,点,则( )
A. -2014 B. 2014 C. -3973 D. 0
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科目:高中数学 来源:2014届广东省等六校高三上学期第二次联考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
设数列满足:,,.
(Ⅰ)求的通项公式及前项和;
(Ⅱ)已知是等差数列,为前项和,且,.求的通项公式,并证明:.
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