Question

7．如图：阴影部分是一个机械构件．该构件是由一块半圆形铁皮剪切后，剩下了弓形面CMD，及三角形ABC所形成的．其中半圆直径AB=8，CD∥AB，点M是$\widehat{CD}$上一点，∠CBD=θ．
（1）求弓形面CMD的面积与θ的函数解析式k（θ）；
（2）求这个构件的面积关于θ的函数解析式S（θ）；并求S（θ）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用扇形面积-三角形面积求弓形面CMD的面积与θ的函数解析式k（θ）；
（2）求出三角形ABC的面积，可得构件的面积关于θ的函数解析式S（θ）；利用导数求S（θ）的最小值．

解答 解：（1）由题意，∠COD=2θ，∴∠COB=90°-θ，
∴AB边上的高为4sin（90°-θ）=4cosθ，CD=8sinθ
∴弓形面CMD的面积k（θ）=16θ-$\frac{1}{2}•8sinθ•4cosθ$=16θ-8sin2θ；
（2）三角形ABC的面积为$\frac{1}{2}×8×4cosθ$=16cosθ
∴S（θ）=16θ-8sin2θ+16cosθ
∴S′（θ）=16-16cos2θ-16sinθ=0，
∴sinθ=$\frac{1}{2}$，
∴函数在（0，$\frac{π}{6}$）上单调递减，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴θ=$\frac{π}{6}$，S（θ）的最小，最小值为$\frac{8}{3}π+4\sqrt{3}$．

点评 本题是中档题，考查三角函数的应用题中的应用，三角函数的化简求值，导数的应用，考查计算能力，转化思想的应用．