Question

2．已知函数f（x）=ax²-2（a-1）x-3．
（1）若函数f（x）的单调递增区间是（-1，+∞），求实数a的取值集合；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上不是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）在x=2时取得最大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）的单调递增区间是（-1，+∞），故函数f（x）的图象是开口朝上，且以直线x=-1为对称轴的抛物线，解得a值；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上不是单调函数，则0＜$\frac{a-1}{a}$＜1，解得实数a的取值范围；
（3）当a=0时，f（x）=2x-3在R上为增函数，满足条件；
当a＜0时，若函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）在x=2时取得最大值，则$\frac{a-1}{a}$≥2，
当a＞0时，若函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）在x=2时取得最大值，则$\frac{a-1}{a}$≤1，
综合满足条件的a的范围，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax²-2（a-1）x-3，
若函数f（x）的单调递增区间是（-1，+∞），
故函数f（x）的图象是开口朝上，且以直线x=-1为对称轴的抛物线，
故$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\-1=\frac{a-1}{a}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上不是单调函数，
则0＜$\frac{a-1}{a}$＜1，
解得：a＞1；
（3）当a=0时，f（x）=2x-3在R上为增函数，满足条件；
当a＜0时，若函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）在x=2时取得最大值，则$\frac{a-1}{a}$≥2，解得：-1≤a＜0，
当a＞0时，若函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）在x=2时取得最大值，则$\frac{a-1}{a}$≤1，解得：a＞0，
综上所述，a≥-1

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．