分析:(1)将已知关系式两边同除以n(n+1)变形
=3+-、整理、转化成等差或等比数列问题解决.
(2)由(1)能知
bn=,但数列{b
n}的前n项和S
n无法进一步化简,因此考虑利用b
n,S
n的关系
bn=进行相互转化求证.
(3)是与自然数有关的不等式命题,用数学归纳法证明.
解答:解:(1)由已知得na
n+1=3(n+1)a
n+4n+6,两边同除以n(n+1)得:
=3+-,所以
=3,
所以
{}是首项为1,公比为q=3的等比数列.
所以
=3n-1.∴a
n=n•3
n-1-2
(2)由(1)知
bn=.
当n≥2时,
bn=Sn-Sn-1=即Sn-=Sn-1.
两边平方得
Sn2-Sn-12=-,
Sn-12-Sn-22=-,
Sn-22-Sn-32=-,
┅┅
S22-S12=-相加得
Sn2-1=2(+++)-(+++)又
1-(+++)>1-(+++)=>0∴
Sn2>2(+++).
(3)(数学归纳法)
当n=1,2时,显然成立;
当n≥2时,证明不等式
+++<-<.
假设当n=k(k≥2)时命题也成立,即
+++<-则当n=k+1时
+++<--++=-<-<所以当n=k+1时命题也成立,
故原不等式成立.
点评:(1)以数列的递推关系为载体,构造等比数列,求出了数列(an)的通项公式.(2)利用bn,Sn的关系解决,避免了繁琐的Sn的计算式表示(3)要求学生掌握数学归纳法在证明题中的运用.三个问题跨度大,思维跳跃性强.是难题.