Question

已知数列{a_n）中，a₁=

1

2

，且a_n+1=

1

2

a_n+

2n+3

2n+1

（n∈N^*）
（1）令b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n-

n2-2

2n

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=

1

2

a_n+

2n+3

2n+1

（n∈N^*）得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2n+3，b_n+1=b_n+2n+3，再用叠加法去求
（2）c_n=a_n-

n2-2

2n

=

n

2n-1

用错位相消法求和

解答：解：（1）由a_n+1=

1

2

a_n+

2n+3

2n+1

（n∈N^*）得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2n+3
由b_n=2ⁿa_n，得b1=1，b_n+1=b_n+2n+3
从而b₂-b₁=5
b₃-b₂=7
…
b_n-b_n-1=2（n-1）+5
以上各式相加得b_n=n²+2n-2（n≥2）
当n=1时也适合．∴b_n=n²+2n-2
（2）由（1）得，a_n=

n2+2n-2

2n

所以c_n=a_n-

n2-2

2n

=

n

2n-1

所以Sn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…

n

2n-1

  ①
上式两边乘以

1

2

得

1

2

Sn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…

n

2n

  ②
①-②得

1

2

Sn=

1

20

+

1

21

+

1

22

+…

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
所以Sn=4-

n+2

2n-1

点评：本题考查叠加法求通项，错位相消法求和，考查变形转化能力、计算能力．