Question

4．已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（Ⅰ）若x=-$\frac{1}{3}$是f（x）的极大值点，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，求出b的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）首利用函数的导数与极值的关系求出a的值，确定函数在区间[1，4]上的单调性即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为即a≤$\frac{{3x}^{2}-3}{2x}$=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）在x∈[1，+∞）上恒成立，令$g（x）=\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出a的范围即可；
（Ⅲ）可以先假设存在，将函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，等价于方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等的实数根，进一步转化为方程x²-4x-3-b=0有两个非零实数根，即可求得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x²-2ax-3
∴$f'（-\frac{1}{3}）=3×{（-\frac{1}{3}）^2}-2a×（-\frac{1}{3}）-3=0$得a=4．
∴f'（x）=3x²-8x-3由3x²-8x-3＜0解得$-\frac{1}{3}＜x＜3$
f（x）的单调递减区间为$[{-\frac{1}{3}，\;3}]$；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax-3≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{{3x}^{2}-3}{2x}$=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）在x∈[1，+∞）上恒成立，
令$g（x）=\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$，x∈[1，+∞）
∵$g'（x）=\frac{3}{2}（1+\frac{1}{x^2}）＞0$在x∈[1，+∞）上恒成立
∴$g（x）=\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$，在[1，+∞）上单调递增
∴g（x）_min=g（1）=0
∴a≤0；                             
（Ⅲ）问题即为是否存在实数b，使得函数x³-4x²-3x=bx恰有3个不同根，
方程可化为x[x²-4x-（3+b）]=0 等价于 x²-4x-（3+b）=0有两不等于0的实根，
则△＞0且b≠-3，
所以b＞-7，b≠-3．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值与最值，考查图象的交点，熟练运用导数与函数单调性的关系，将图象的交点问题转化为方程根的研究是解题的关键．