Question

若奇函数f（x）在定义域（-1，1）上是减函数
（1）求满足f（1-a）+f（1-a²）＜0的集合M
（2）对（1）中的a，求函数F（x）=log_a[1-( 

1

a

)x2-x]的定义域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是奇函数，且f（1-a）+f（1-a²）＜0，可得f（1-a）＜-f（1-a²）=f（a²-1），结合f（x）在x∈（-1，1）是减函数得-1＜a²-1＜1-a＜1，解不等式可求M
（2）由题意可得1-(

1

a

)x2-x＞0，结合0＜a＜1，可知，u=(

1

a

)x2-x是增函数可得x²-x＜0，可求

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，又f（1-a）+f（1-a²）＜0，
∴f（1-a）＜-f（1-a²）=f（a²-1）
又∵f（x）是减函数，
∴1-a＞a²-1
再由x∈（-1，1）得-1＜a²-1＜1-a＜1
即

-1＜a2-1＜1 -1＜1-a＜1 a2-1＜1-a

即

0＜a2＜2 0＜a＜2 a2+a-2＜0

解得M={a|0＜a＜1}
（2）为使F（x）=log_a[1-（

1

a

）^x2-x]有意义，
则1-(

1

a

)x2-x＞0
即(

1

a

)x2-x＜1
∵0＜a＜1，∴

1

a

＞1，u=(

1

a

)x2-x是增函数
∴x²-x＜0，解得0＜x＜1，
∴F（x）的定义域为{x|0＜x＜1}

点评：本题主要考查了利用函数的奇偶性及函数的单调性解不等式，对数函数定义域的求解及知识函数单调性的应用，属于函数知识的综合应用．