Question

如图△ABC内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D．
（I）求证：AC²=AP•AD；
（II）若∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长．

Answer 1

分析：（I）根据三角形中两条边相等，得到对应的两个底角相等，证明两个三角形相似，相似三角形对应边成比例，得到比例式，通过等量代换得到要求的等式．
（II）根据有一个顶角是60°的等腰三角形是等边三角形，得到∠BAC=60°，从而得到∠BAP=90°，即BP是圆的直径，在直角三角形中利用勾股定理得到结果．

解答：（I）证明：连接BP，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB又∠ACB=∠APB，
∴∠ABC=∠APB，
∴△ABP∽△ABD
∴

AB

AP

=

AD

AB

即AB²=AP•AD，
∵AB=AC，
∴AC²=AP•AD
（II）∵∠ABC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵P为为弧AC的中点，
∴∠ABP=∠PAC=30°，
∴∠BAP=90°，
∴BP是圆的直径，
∴BP=2，
∴AP=

1

2

BP=1，
在直角三角形PAB中，AB²=BP²-AP²=3，
∴AD=

AB2

AP

=3

点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似和全等的判断和性质的应用，本题是一个综合题目，解题时注意题目所给的条件比较繁琐，不要用错条件．