Question

甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%、6%的药水各10千克，实际上两个喷雾器中农药浓度本应是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行3n次后，A喷雾器药水成了含有a_n%的药水，B喷雾器药水成了含有b_n%的药水．
①证明：a_n+b_n是一个常量
②建立a_n与a_n-1的关系式
③按照这样的方式进行下去，他们能否得到浓度大致相同的药水．

Answer 1

（1）A中含有农药12%×10=1.2千克，B中含有农药6%×10=0.6千克
次操作后，A中含有农药0.1 千克，B中含有农药0.1 千克
∴0.1a_n+0.1b_n=1.2+0.6=1.8，
则a_n+b_n=18 为常量．
（2）第n 次操作后，A中10千克药水中农药的重量具有关系式：

9

10

an-1+

1

10

×0.1×bn-1=0.1an
又∵b_n-1=18-a_n-1
∴an=

4

5

an-1+

9

5

．
（3）由（2）可知，an-9=

4

5

(an-1-9)，
∴a_n-9是公比为

4

5

的等比数列，
首项为3，∵q=

4

5

，
∴an=9+3×(

4

5

)n-1是一个无穷递缩等比数列．
当n 无穷大时a_n=9，
∵a_n+b_n=18
∴b_n=9
即能大致相同．