Question

【题目】如图，三棱柱中，平面，，，，，是的中点，是的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）连结交于，连结，,可证得四边形为平行四边形，即，即得解；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，可证得为直线与平面所成角，可得，分别求解平面，平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

（Ⅰ）连结交于，连结，

∵，，∴，.

又，，

∴，因此，四边形为平行四边形，即

∵面，面，∴平面

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，如图，过作，连结

∵面，面，∴

∵，，∴面

∵面，∴面面，

∵面，，面面，面，

即为直线与平面所成角，记为，，∴，

在中，，∴，

，，，，

设平面的法向量，

，取，

平面的法向量，

因此，二面角的余弦值