Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，那么f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2015}$）等于2014.5．

Answer 1

分析 由f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1，能求出f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2015}$）的值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1，
∴f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2015}$）
=1×2014+f（1）
=2014+$\frac{1}{1+1}$
=2014.5．
故答案为：2014.5．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题的关键是推导出f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．