Question

（2008•宝坻区一模）如图所示，AF是⊙O的直径，AD与圆所在的平面垂直，AD=8，BC也是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD，且OE=AD．
（1）求二面角B-AD-F的大小；
（2）求直线BD与EF所成的角．

Answer 1

分析：（1）容易得知∠BAF就是二面角B-AD-F的平面角．在△BAF中求解．
（2）（1）可知，ABFC是边长为6的正方形，则AO是OD在平面ABF上的射影，OD⊥BC得出OFED是平行四边形，得出EF∥OD，从而∠BDO就是直线BD与EF所成的角．在△BDO中求解．

解答：解：（1）因为AD⊥平面ABF，而AB、AF?平面ABF
所以AD⊥AB，AD⊥AF
则∠BAF就是二面角B-AD-F的平面角…（3分）
∵AB、BC是⊙O的直径，∴ABFC是矩形
又AB=AC=6，则ABFC是正方形
则∠BAF=45°，
即所求二面角的大小为45°…（6分）
（2）由上可知：ABFC是边长为6的正方形，则BC⊥AO
AD⊥平面ABF，则AO是OD在平面ABF上的射影
∴OD⊥BC
又OE∥AD   OE=AD   则DE∥AF
DE=AO=OF=OB=3

2

OFED是平行四边形，EF∥OD．
即∠BDO就是直线BD与EF所成的角…（9分）sin∠BDO=

BO

BD

=

3 2

10

直线BD与EF所成的角为arcsin

3 2

10

…（12分）

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，空间角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．