Question

【题目】已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4及圆内一点P（2，5）．
（1）求过P点的弦中，弦长最短的弦所在的直线方程；
（2）求过点M（5，0）与圆C相切的直线方程．

Answer 1

【答案】
解：（1）∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4及圆内一点P（2，5），
∴由题意，过P点且与CP垂直的弦长最短，
∵圆心C点坐标为（3，4），∴，
∴所求直线的斜率k=1，代入点斜式方程，
得y﹣5=x﹣2，即x﹣y+3=0．
∴P点的弦中，弦长最短的弦所在的直线方程为x﹣y+3=0．
（Ⅱ）当直线垂直x轴时，即x=5，圆心C到直线的距离为2，此时直线x=5与圆C相切，
当直线不垂直x轴时，设直线方程为y=k（x﹣5），即kx﹣y﹣5k=0，
圆心C到直线的距离d=
解得k=-，
∴所求切线方程为3x+4y﹣15=0，或x=5．
【解析】（1）过P点且与CP垂直的弦长最短，由此能求出点的弦中，弦长最短的弦所在的直线方程．
（Ⅱ）当直线垂直x轴时，直线x=5与圆C相切，当直线不垂直x轴时，设直线方程kx﹣y﹣5k=0，由圆心C到直线的距离等于半径，能求出切线方程．