Question

若a²、b²、c²成等差数列，且（a+b）（b+c）（c+a）≠0，求证：

1

b+c

，

1

c+a

，

1

a+b

也成等差数列．

Answer 1

分析：由a²、b²、c²成等差数列可得2b²=a²+c²，要证

1

b+c

，

1

c+a

，

1

a+b

也成等差数列，只要证

1

b+c

+

1

a+b

=

2

c+a

即可，结合已知关系进行整理可得．

解答：解：由a²、b²、c²成等差数列可得2b²=a²+c²，
所以

1

b+c

+

1

a+b

-

2

c+a

=

(a+b)(a+c)+(b+c)(a+c)-2(b+c)(a+b)

(b+c)(a+b)(a+c)

=

a2+c2-2b2

(b+c)(a+b)(a+c)

=0
所以

1

b+c

+

1

a+b

=

2

c+a

所以

1

b+c

，

1

c+a

，

1

a+b

成等差数列

点评：本题考查等差数列的定义和证明、等差中项的应用，考查式子的变形、运算能力．