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“关于x的不等式
x-3
+
6-x
≥k
有解”是“关于x的不等式|1-x|+|x+2|≥k恒成立”的(  )
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分又不必要条件
分析:首先分析题目求“关于x的不等式
x-3
+
6-x
≥k
有解”是“关于x的不等式|1-x|+|x+2|≥k恒成立”的什么条件,故需要分别解出前者,后者分别满足的条件,然后分别判断前者后者之间的包含关系,即可判断出答案.在解后者恒成立的问题时,用到绝对值不等式的性质求解出最小值,使k小于最小值即满足恒成立.
解答:解:x的不等式
x-3
+
6-x
≥k
有解,
因为不等式
x-3
+
6-x
≥k
成立,必须满足平方根下为非负数.
即:3≤x≤6
x-3
+
6-x
=
(x-3)+(6-x)+2
x-3
6-x
=
3+ 2
x-3
6-x
6

于是必有0<k≤
6
,不等式才有解.
对于|1-x|+|x+2|≥k
由绝对值不等式|1-x|+|x+2|≥|1-x+x+2|=3,即必须满足k≤3才满足恒成立.
故前者是后者的子集,即前者是后者的充分不必要
故选A.
点评:此题主要考查绝对值不等式的解法问题,其中涉及到充分条件、必要条件的判断,属于综合性的问题,有一定的计算量和技巧性,属于中档题型.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网A.(不等式选做题)若关于x的不等式|x+3|-|x+2|≥log2a有解,则实数a的取值范围是:
 

B.(几何证明选做题)如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若
PB
PA
=
1
2
PC
PD
=
1
3
,则
BC
AD
的值为
 

C.(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为
x=3+2
2
cosθ
y=-1+2
2
sinθ
(θ为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ=
2
cosθ-sinθ
,则曲线C上到直线l距离为
2
的点的个数为:
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

研究问题:“已知关于x的不等式ax2-bx+c>0,解集为(1,2),解关于x的不等式cx2-bx+a>0”有如下解法:
解:由cx2-bx+a>0且x≠0,所以
(c×2-bx+a)
x2
>0得a(
1
x
2-
b
x
+c>0,设
1
x
=y,得ay2-by+c>0,由已知得:1<y<2,即1<
1
x
<2,∴
1
2
<x<1所以不等式cx2-bx+a>0的解集是(
1
2
,1).
参考上述解法,解决如下问题:已知关于x的不等式
b
(x+a)
+
(x+c)
(x+d)
<0的解集是:(-3,-1)∪(2,4),则不等式
bx
(ax-1)
+
(cx-1)
(dx-1)
<0的解集是
(-
1
2
,-
1
4
)∪(
1
3
,1)
(-
1
2
,-
1
4
)∪(
1
3
,1)

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科目:高中数学 来源: 题型:

若a>0,使关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a在R上的解集不是空集,设a的取值集合是A;若不等式|x|>bx(b∈R)的解集为(0,+∞),设实数b的取值集合是B,试求当x∈A∪B时,f(x)=2|x+1|-|x-1|的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题:
①设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为-
1
2

②关于x的不等式(a-3)x2<(4a-2)x对任意的a∈(0,1)恒成立,则x的取值范围是(-∞,-1]∪[
2
3
,+∞)

③变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则r2<0<r1
④下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
根据上表提供的数据,得出y关于x的线性回归方程为y=a+0.7x,则a=-0.35;
以上命题正确的个数是(  )

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年河南省原名校高三下学期第二次联考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|< 3a2-7a+4.

(1)当a=2时,解上述不等式;

(2)如果关于x的不等式| x-3|+|x-4|< 23a27a+4的解集为空集,求实数a的取值范围.

 

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