Question

14．已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=1，则f（2016）+f（2015）=（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 根据f（x）和f（x+1）的奇偶性便可得到f（x）=f（x-1+1）=f（x-4），从而得出f（x）是周期为4的周期函数，而可以求出f（2）=0，从而可以得出f（2016）+f（2015）=f（2）-f（1）=-1．

解答 解：∵f（x）为R上的奇函数，f（x+1）为偶函数，
∴f（x）=f（x-1+1）=f（-x+2）=-f（x-2）=f（x-4）；
∴f（x）是周期为4的周期函数；
∴f（2016）+f（2015）=f（2+503×4）+f（-1+504×4）=f（2）-f（1）=f（2）-1；
f（-1+1）=f（1+1）=0；
即f（2）=0；
∴f（2014）+f（2015）=0-1=-1．
故选：B．

点评 考查奇函数、偶函数的定义，以及周期函数的定义，清楚偶函数的定义：f（-x）=f（x），是自变量换上-x后函数值不变．