Question

某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3900元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？

Answer 1

分析：（I）根据题意当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，可得结论；
（II）设租金提高后有x辆未租出，则已租出（100-x）辆．租赁公司的月收益为y元，然后建立月收益关于x的函数，利用二次函数求最值的方法即可求出最大值，再求出此时的x的值，从而求出月租金．

解答：解：（Ⅰ）租金增加了900元，
所以未出租的车有15辆，一共出租了85辆．…（2分）
（Ⅱ）设租金提高后有x辆未租出，则已租出（100-x）辆．租赁公司的月收益为y元．
y=（3000+60x）（100-x）-160（100-x）-60x  其中x∈[0，100]，x∈N
整理得：y=-60x²+3100x+284000=-60（x-

155

6

）²+

972125

3

           …（8分）
当x=26时，y_max=324040       此时，月租金为：3000+60×26=4560…（11分）
答：每辆车的月租金为4560元时，租车公司的月收益最大，最大月收益是324040．    …（12分）

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，同时考查了二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．