Question

已知数列{a_n}满足a₁=-1，，数列{b_n}满足
（1）求证：数列为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式．
（2）求证：当n≥2时，
（3）设数列{b_n}的前n项和为{s_n}，求证：当n≥2时，．

Answer 1

解：（1）由题意，即
∴a_n=n•3^n-1-2…（4分）
（2）当n=2时，即n=2时命题成立
假设n=k（k≥2）时命题成立，即
当n=k+1时，
=即n=k+1时命题也成立
综上，对于任意n≥2，…（8分）
（3）当n≥2时，
平方则
叠加得
∴
∴…（13分）
分析：（1）根据目标，可构造数列，只需对条件进行化简，从而求数列{a_n}的通项公式．
（2）利用数学归纳法证明，首先证明n=2时命题成立．假设n=k（k≥2）时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立
（3）当n≥2时，，将其平方，再叠加即可证明．
点评：本题主要考查构造法证明等比数列，从而求出数列的通项，对于不等式的证明由于与自然数有关，故通常可以利用数学归纳法进行证明．