Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，△ABC是正三角形，过底面一边BC与侧棱AA₁上的一点所作的三棱柱的截面中，面积的最大值是2

3

，与底面所成二面角的最大值是

π

3

，则该三棱柱的体积等于

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：取BC中点O，连结AO，A₁O，由已知得∠AOA1=

π

3

，S △A1BC=2

3

，由此能求出该三棱柱的体积．

解答： 解：取BC中点O，连结AO，A₁O，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，△ABC是正三角形，
∴AO⊥BC，A₁O⊥BC，
∠AOA₁是二面角A₁-BC-A的平面角，
∵过底面一边BC与侧棱AA₁上的一点所作的三棱柱的截面中，
面积的最大值是2

3

，与底面所成二面角的最大值是

π

3

，
∴∠AOA1=

π

3

，S △A1BC=2

3

，
设AB=a，则AO=

3

2

a，AO=

3

a，AA₁=

3

2

a，
∴S△A1BC=

1

2

a×

3

a=2

3

，解得a=2，
∴S△ABC=

1

2

×2×2×sin60°=

3

，AA₁=

3

，
∴该三棱柱的体积V=

1

3

S△ABC×AA1=

1

3

×

3

×

3

=1．
故答案为：1．

点评：本题考查三棱柱的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．