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已知:二次函数g(x)是偶函数,且g(1)=0,对?x∈R,有g(x)≥x-1恒成立,令f(x)=g(x)+mlnx+数学公式,(m∈R)
(I)求g(x)的表达式;
(II)当m<0时,若?x>0,使f(x)≤0成立,求m的最大值;
(III)设1<m<2,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:对?x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.

解(I)设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵g(x)是偶函数,∴g(-x)=g(x)∴b=0
又g(1)=0∴a+c=0,
∴g(x)=ax2-a
∵x-1≤g(x)对?x∈R恒成立,
∴ax2-a≥x-1恒成立,
∴a>0,且△≤0得

(II) =

当m>0时,f(x)的值域为R
当m=0时,恒成立
当m<0时,令
x
f'(x)-0+
f(x)极小
这时
若?x>0使f(x)≤0成立则只须f(x)min≤0即m≤-e,
综上所述,实数m的取值范围(-∞,-e)∪(0,+∞).
(III)∵,所以H(x)在[1,m]单减
于是

,则
所以函数h(m)在[1,e]是单增函数
所以
故命题成立.
分析:(I)直接设出g(x)的表达式,根据偶函数求出b的值,根据g(1)=0得到a与c的关系,利用不等式x-1≤g(x)恒成立,则a>0,且△≤0求出a,即可求出函数的解析式.
(II)先求出函数f(x)的表达式,在对实数m分情况求出对应函数f(x)的值域,让实数m与函数f(x)的最小值比较即可求实数m的取值范围;
(III)先求出函数H(x)在[1,m]单减,进而得 ,转化为求 的最大值问题即可.
点评:本题主要考查函数恒成立问题以及函数解析式的求法,是对函数以及导函数知识的综合考查,是有难度的题.
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已知:二次函数g(x)=ax2-2ax+b+1(a>0)在区间[2,3]上有最大值4,最小值1.
(1)求二次函数g(x)的图象的对称轴方程;
(2)求函数g(x)的解析式;
(3)设f(x)=
g(x)
x
.若f(2x)-k•2x≥0在x∈[-1
,1
时恒成立,求k的取值范围.

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(2011•临沂二模)已知:二次函数g(x)是偶函数,且g(1)=0,对?x∈R,有g(x)≥x-1恒成立,令f(x)=g(x)+mlnx+
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,(m∈R)
(I)求g(x)的表达式;
(II)当m<0时,若?x>0,使f(x)≤0成立,求m的最大值;
(III)设1<m<2,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:对?x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.

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(I)求g(x)的表达式;
(II)当m<0时,若?x>0,使f(x)≤0成立,求m的最大值;
(III)设1<m<2,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:对?x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年福建省泉州市安溪八中高一(上)期中数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知:二次函数g(x)=ax2-2ax+b+1(a>0)在区间[2,3]上有最大值4,最小值1.
(1)求二次函数g(x)的图象的对称轴方程;
(2)求函数g(x)的解析式;
(3)设.若f(2x)-k•2x≥0在时恒成立,求k的取值范围.

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