Question

已知：二次函数g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．
（1）求二次函数g（x）的图象的对称轴方程；
（2）求函数g（x）的解析式；
（3）设．若f（2^x）-k•2^x≥0在时恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）对g（x）进行配方即可求得；
（2）先判断g（x）的单调性，由单调性得到其最值，根据最值列出方程组，解出即可；
（3）由f（2^x）-k•2^x≥0在时恒成立，分离出参数k，转化为函数最值问题，换元后利用二次函数知识可求出最值．
解答：解：（1）∵g（x）=a（x-1）²-a+1+b，
∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1．
（2）∵a＞0，∴g（x）=a（x-1）²-a+1+b在区间[2，3]上递增．
依题意得，即，解得，
∴g（x）=x²-2x+1．
（3）．
f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，
即  在x∈[-1，1]时恒成立，也即k≤-2+1在x∈[-1，1]时恒成立，
令，由x∈[-1，1]得t∈[，2]．
∵-2+1=t²-2t+1=（t-1）²，∴当t=1时，取得最小值0．
∴k≤0．即实数k的取值范围（-∞，0]．
点评：本题考查二次函数的性质及闭区间上的最值问题，对于恒成立问题转化为求函数最值是解决该类问题的常用方法．