Question

7．已知点M是函数f（x）=3lnx-x²上任一点，点N是函数g（x）=x+2上任一点，则|MN|的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 先根据导数的几何意义求出切点坐标，欲求M到直线g（x）=x+2的距离的最小值即求切点到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：由f（x）=3lnx-x²，可得f′（x）=$\frac{3}{x}$-2x，
令$\frac{3}{x}$-2x=1（x＞0），可得x=1，
所以切点为（1，-1），
它到直线g（x）=x+2的距离为$\frac{|1+1+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及点到直线的距离公式，属于中档题．