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    若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数h（x）=x2，m（x）=2elnx（e为自然对数的底数），φ（x）=x-2，d（x）=-1．
    有下列命题：
    ①f（x）=h（x）-m（x）在递减；
    ②h（x）和d（x）存在唯一的“隔离直线”；
    ③h（x）和φ（x）存在“隔离直线”y=kx+b，且b的最大值为；
    ④函数h（x）和m（x）存在唯一的隔离直线．
    其中真命题的个数（ ）
    A．1个
    B．2个
    C．3个
    D．4个
    【答案】分析：①求出f′（x）=2x-，x＞0．由f′（x）=2x-=0，x＞0，得x=，列表讨论，能求出f（x）=h（x）-m（x）在递减；
    ②h（x）和d（x）存在多条“隔离直线”；
    ③h（x）和φ（x）存在的“隔离直线”为y=x+b，由h′（x）=2x，知h（x）=x2与“隔离直线”y=x+b平行的切线方程的切点坐标为（），把（）代入y=x+b，得b=-，故h（x）和φ（x）存在“隔离直线”y=kx+b，且b的最大值为；
    ④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值．
    解答：解：①∵h（x）=x2，m（x）=2elnx，
    ∴f（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx，x＞0
    ∴f′（x）=2x-，x＞0．由f′（x）=2x-=0，x＞0，得x=，
    x  （0，）  （）
     f′（x）- 0+
     f（x）↓ 极小值↑
    ∴f（x）=h（x）-m（x）在递减，故①正确；
    ②∵h（x）=x2，d（x）=-1．
    ∴h（x）和d（x）存在多条“隔离直线”，故②不正确；
    ③∵h（x）=x2，φ（x）=x-2，
    ∴h（x）和φ（x）存在的“隔离直线”y=kx+b平行于y=x-2，
    即h（x）和φ（x）存在的“隔离直线”为y=x+b，
    ∵h′（x）=2x，∴h（x）=x2与“隔离直线”y=x+b平行的切线方程的切点坐标为（），
    把（）代入y=x+b，得b=-，
    ∴h（x）和φ（x）存在“隔离直线”y=kx+b，且b的最大值为，故③正确；
    ④令F（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx（x＞0），
    再令F′（x）═2x-=0，x＞0，得x=，
    从而函数h（x）和m（x）的图象在x=处有公共点．
    因此存在h（x）和m（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则
    隔离直线方程为y-e=k（x-），即y=kx-k+e．
    由h（x）≥kx-k+e可得 x2-kx+k-e≥0当x∈R恒成立，
    则△=k2-4k+4e=（k-2）2≤0，只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．
    同理证明，由φ（x ）≤kx-k+e，可得只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．
    综上可得，函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2x-e，故④正确．
    故选C．
    点评：本题以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，属于难题．
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    （1）求F（x）=h（x）-φ（x）的极值；
    （2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

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    若存在实常数k和b，使函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x恒有：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x2，φ（x）=2elnx，则可推知h（x），φ（x）的“隔离直线”方程为
    y=2
    		e
    x-e
    y=2
    		e
    x-e
    ．

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    有下列命题：
    ①f（x）=h（x）-m（x）在x∈(0，
    		e
    )    递减；
    ②h（x）和d（x）存在唯一的“隔离直线”；
    ③h（x）和φ（x）存在“隔离直线”y=kx+b，且b的最大值为-
    1
    4
    ；
    ④函数h（x）和m（x）存在唯一的隔离直线y=2
    		e
    x-e    ．
    其中真命题的个数（　　）

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年广东省广州市执信中学高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

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    （1）求F（x）=h（x）-φ（x）的极值；
    （2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年江苏省高三12月练习数学试卷 题型：填空题

    若存在实常数k和b，使函数和对其定义域上的任意实数x恒有：

    和，则称直线为和 的“隔离直线”。

    已知，则可推知的“隔离直线”方程为   ▲     

     

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