Question

若定义在区间D上的函数f（x）对D上的任意n个值x₁，x₂，…，x_n，总满足

1

n

[f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）]≤f
（

x1+x2+…+xn

n

），则称f（x）为D上的凸函数．已知函数y=sinx在区间（0，π）上是“凸函数”，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是

 

．

Answer 1

分析：已知f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，利用凸函数的性质可得：

sinA+sinB+sinC

3

≤sin

A+B+C

3

，变形得 sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

利用特殊三角函数值求得问题答案．

解答：解：∵f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，
且A、B、C∈（0，π），
∴

f(A)+f(B)+f(C)

3

≤f（

A+B+C

3

）=f（

π

3

），
即sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

=

3 3

2

，
所以sinA+sinB+sinC的最大值为

3 3

2

．
故答案为：

3 3

2

点评：本题主要考查三角函数的最值问题．考查了考生运用所给条件分析问题的能力和创造性解决问题的能力．