Question

已知函数f(x)=x2+

2

x

+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有以下不等式

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=x2+

2

x

+alnx，得f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

，由函数为[1，+∞）上单调增函数，知f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．由此能求出a的取值范围．
（Ⅱ）由f(x)=x2+

2

x

+alnx，得

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(x12+x22)+(

1

x1

+

1

x2

)+

a

2

(lnx1+lnx2)=

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

，f(

x1+x2

2

)=(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

，由此入手能够证明当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=x2+

2

x

+alnx，
得f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

…（2分）
函数为[1，+∞）上单调函数．
若函数为[1，+∞）上单调增函数，
则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立．…（3分）
令φ(x)=

2

x

-2x2，上述问题等价于a≥φ（x）_max，
而φ(x)=

2

x

-2x2为在[1，+∞）上的减函数，
则φ（x）_max=φ（1）=0，于是a≥0为所求．…（5分）
（Ⅱ）证明：由f(x)=x2+

2

x

+alnx
得

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(x12+x22)+(

1

x1

+

1

x2

)+

a

2

(lnx1+lnx2)
=

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

f(

x1+x2

2

)=(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

…（7分）
而

1

2

(x12+x22)≥

1

4

[(x12+x22)+2x1x2]=(

x1+x2

2

)2①…（9分）
又（x₁+x₂）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂≥4x₁x₂，
∴

x1+x2

x1x2

≥

4

x1+x2

②…（10分）
∵

x1x2

≤

x1+x2

2

，
∴ln

x1x2

≤ln

x1+x2

2

，
∵a≤0
∴aln

x1x2

≥aln

x1+x2

2

③…（12分）
由①、②、③得

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

≥(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1x2

即

f(x1)+f(x2)

2

≥f(

x1+x2

2

)，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数．…（13分）

点评：本题考查函数的恒等性在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．