Question

已知向量=（sinx，-cosx），=（cosθ，-sinθ），其中0＜θ＜π．函数f（x）=在x=π处取最小值．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若sinB=2sinA，，求A．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通过向量的数量积以及两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过x=π处取最小值求θ的值；
（Ⅱ）发一：通过，求出C的值，利用三角形的内角和与sinB=2sinA，通过三角代换直接求A．
法二：通过，求出C的值，利用正弦定理和余弦定理，求出B，然后求出A．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）==sinxcosθ+cosxsinθ=sin（x+θ）…（2分）
又∵函数f（x）在x=π处取最小值，∴sin（π+θ）=-1，即  sinθ=-1…（3分）
又0＜θ＜π，∴…（5分）∴…6 分
（Ⅱ）法一：∵，∴∵0＜C＜π，∴．                  …8 分
∵A+B+C=π，∴…（9分）
代入sinB=2sinA中，∴，∴，
∴，…（10分）
∵0＜A＜π，∴．        …（12分）
（Ⅱ）法二：∵，∴∵0＜C＜π，∴．           …8 分
∵sinB=2sinA，由正弦定理有b=2a．          …（9分）
又由余弦定理得
∴a²+c²=b²，∴…（11分）
∵A+B+C=π，∴．             …（12分）
点评：本题通过向量的数量积，考查三角函数的基本公式的应用，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力，好题，常考题型．