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    对于函数数学公式（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）=1（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是


    1. A.
      f（n+1）-f（n）=1
    2. B.
      f（n+k）=f（n）（k∈N*）
    3. C.
      αf（n）=f（n+1）+αf（n）（α≠0）
    4. D.
      αf（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）
    C
    分析：对于函数（n∈N*），取一些特殊值n=1，2，3，4，…时观察其函数值的特点，再对选项一一验证即可．
    解答：对于函数（n∈N*），当n=1，2，3，4，…时的函数值为：0，1，0，1，…
    对于A：f（3）-f（2）=-1不成立，故错；
    对于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故错；
    对于C：αf（n）=，f（n+1）+αf（n）=成立，故正确；
    对于D：αf（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故错；
    故选C．
    点评：本小题主要考查函数的表示方法、函数周期性的应用、数列的表示方法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
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    1
    2
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    1
    x
    )，x≥0    ，an+1=f（an），对于任意的n∈N*，都有an+1＜an．
    （Ⅰ）求a1的取值范围；
    （Ⅱ）若a1=
    3
    2
    ，证明an＜1+
    1
    2n+1
    （n∈N+，n≥2）．
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明
    a1
    a2
    +
    a2
    a3
    +…+
    an
    an+1
    -n＜
    		2
    +1．

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    （Ⅰ）求证：（n∈N*）．
    （Ⅱ）设bn=an+1-2an（n∈N*），求证：bn＜（-6）•2-n（n∈N*）；
    （Ⅲ）是否存在常数A，B同时满足条件：
    ①当n=0，1时，；
    ②当n≥2时（n∈N*，）．如果存在，求出A，B的值，如果不存在，说明理由．

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