Question

5．在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，现将长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角B-AC-D，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为$\frac{9}{25}$．

Answer 1

分析 可画出图形，分别过B，D作AC的垂线BE，DF，从而根据条件可以求出$BE=DF=\frac{12}{5}，AE=CF=\frac{9}{5}$，并且可得到DF⊥BE，从而可得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}=（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}）•（\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FD}）$，这样进行数量积的运算便可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$的值，从而根据向量夹角的余弦公式可以求出cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}＞$，这样便可得出直线AB与直线CD所成角的余弦值．

解答 解：如图，
作BE⊥AC，垂足为E，作DF⊥AC，垂足为F；
根据条件AC=5，$BE=DF=\frac{12}{5}$，$AE=CF=\frac{9}{5}$；
二面角B-AC-D为直二面角；
∴DF⊥平面ABC；
∴DF⊥BE；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}=（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}）•（\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FD}）$=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{FD}=-\frac{81}{25}+0+0+0=-\frac{81}{25}$；
∴$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}＞=\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{-\frac{81}{25}}{9}=-\frac{9}{25}$；
∴直线AB与直线CD所成角的余弦值为$\frac{9}{25}$．
故答案为：$\frac{9}{25}$．

点评 考查直角三角形边的关系，三角形的面积公式，直二面角的概念，面面垂直的性质定理，以及向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦的计算公式，弄清异面直线的所成角和异面直线的方向向量夹角的关系．