Question

14．若方程$\frac{1}{lnx}$-ax=0恰有一个实数根，则实数a的取值范围（0，+∞）∪{-e}．

Answer 1

分析 先分离参数a得$\frac{1}{a}$=xlnx，并构造函数f（x）=xlnx，再运用导数求出函数的单调区间，从而确定函数的值域，由此得出a的取值范围．

解答 解：对于方程方程$\frac{1}{lnx}$-ax=0，其中x∈（0，1）∪（1，+∞），
再分离参数a得，$\frac{1}{a}$=xlnx，记f（x）=xlnx，
则令f'（x）=1+lnx=0，解得，x=$\frac{1}{e}$，
当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f'（x）＜0；x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f'（x）＞0，
所以，f（x）先减后增，在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值，也是函数的最小值，
即f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，所以，f（x）的值域为（-$\frac{1}{e}$，+∞），
又∵x→0时，F（x）→0，如右图，
∴要使原方程只有一个实根，则$\frac{1}{a}$∈（0，+∞）∪{-$\frac{1}{e}$}，
解得，a∈（0，+∞）∪{-e}，
故答案为：（0，+∞）∪{-e}．

点评 本题主要考查了根的存在性和根的个数的判断，涉及导数在求函数的单调性和最值中的应用，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．