Question

1．如图圆台的上下底面的圆心分别是E、A，点D在上底面圆周上，B、C在下底面圆周上，已知EA=1，ED=$\sqrt{3}$，AC=BC=2，BD=CD．
（1）求证：平面BDE⊥平面CDE；
（2）求多面体ABCDE的体积；
（3）求二面角A-EC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中点O，连结AO，EO，DO，由已知条件推导出A、O、D、E共面，DE⊥平面BDC，∠BDC是平面BDE和平面CDE所成的平面角，由此能证明平面BDE⊥平面CDE．
（2）由已知推导出S_{四边形AOED}=AO×AE=$\sqrt{3}$，BC⊥平面AODE，多面体ABCDE的体积V=V_B-AODE+V_C-AODE，由此能求出结果．
（3）以A为原点，在平面ABC中过A作BC的平行线为x轴，AO为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-EC-B的余弦值．

解答 （1）证明：取BC中点O，连结AO，EO，DO，
∵圆台的上下底面的圆心分别是E、A，点D在上底面圆周上，B、C在下底面圆周上，
EA=1，ED=$\sqrt{3}$，AC=BC=2，BD=CD，
∴AE⊥面ABC，且AE⊥DE，∴BE=CE=$\sqrt{5}$，AO=$\sqrt{3}$，AO⊥BC，EO⊥BC，DO⊥BC，
∴A、O、D、E共面，∴AO⊥平面BDC，即DE⊥平面BDC，AODE是矩形，∴DO=1，
∴∠BDC是平面BDE和平面CDE所成的平面角，
∵BO=CO=DO=1，DO⊥BC，∴BD=CD=$\sqrt{2}$，
∴BD²+CD²=BC²，∴$∠BDC=\frac{π}{2}$，
∴平面BDE⊥平面CDE．
（2）解：由（1）得S_{四边形AOED}=AO×AE=$\sqrt{3}$，BC⊥平面AODE，
∴多面体ABCDE的体积：
V=V_B-AODE+V_C-AODE=$\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}+\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（3）解：以A为原点，在平面ABC中过A作BC的平行线为x轴，AO为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，
则由已知得A（0，0，0）E（0，0，1），C（-1，$\sqrt{3}$，0），B（1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{EA}$=（0，0，-1），$\overrightarrow{EB}$=（1，$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{EC}$=（-1，$\sqrt{3}$，-1），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-z=0}\\{-x+\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
设平面BEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=a+\sqrt{3}b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=-a+\sqrt{3}b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
设二面角A-EC-B的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{4}•\sqrt{4}}$|=$\frac{1}{4}$．
∴二面角A-EC-B的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．