Question

6．设函数f（x）=xⁿ（1-x）（x＞0），n为正整数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：不等式lnt≥1-$\frac{1}{t}$及f（x）＜$\frac{1}{ne}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，利用导函数正负判断函数的单调性，进而得出函数的最值；
（Ⅱ）整理不等式得lnt-1+$\frac{1}{t}$≥0，只需求出式子lnt-1+$\frac{1}{t}$的最小值，利用导数求解即可；观察式子特点，构造式子令t=$\frac{n+1}{n}$  （t＞1），利用上题结论代入计算．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，
∴f'（x）=nx^n-1-（n+1）xⁿ
=-（n+1）x^n-1（x-$\frac{n}{n+1}$）；
令f'（x）=0，
得x=$\frac{n}{n+1}$，
当x∈（0，$\frac{n}{n+1}$），f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（$\frac{n}{n+1}$，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减；
函数f（x）的最大值为f（$\frac{n}{n+1}$）=$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$；
（Ⅱ）要证lnt≥1-$\frac{1}{t}$，
即证lnt-1+$\frac{1}{t}$≥0．
令h（t）=lnt-1+$\frac{1}{t}$，
h'（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$，
∴h（t）在（0，1）递减，（1，+∞）递增，
h（t）≥h（1）=0，
∴lnt≥1-$\frac{1}{t}$，
f（x）＜$\frac{1}{ne}$的证明：
令t=$\frac{n+1}{n}$  （t＞1）
∴ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$
∴（n+1）ln$\frac{n+1}{n}$＞lne
∴$\frac{{（n+1）}^{n+1}}{{n}^{n+1}}$＞e
∴$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$＜$\frac{1}{ne}$
由（1）知f（x）＜$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$＜$\frac{1}{ne}$

点评 考查了导函数求最值的方法和构造式子，对试题进行探索式证明．