Question

14．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，定点M在棱AB上（不在端点A、B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A₁D₁的距离与点P到点M的距离的平方差为a²，则点P的轨迹所在曲线为（　　）

• A． 抛物线
• B． 双曲线
• C． 直线
• D． 圆

Answer 1

分析 以A为原点，AB、AA₁分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AM=t（0＜t＜a），P（x，y，0），由已知条件推导出P的轨迹是抛物线．

解答 解：以A为原点，AB、AA₁分别为y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系
设AM=t（0＜t＜a），则M（0，t，0），设P（x，y，0），
设PR⊥A₁D₁于R，则PR是点P到直线A₁D₁的距离
PR²=y²+a²，PM²=x²+（y-t）²，
由题意，得PR²-PM²=y²+a²-[x²+（y-t）²]=a²
化简，得x²=2ty-t²，
故P的轨迹是抛物线
故选：A．

点评 本题考查点的轨迹所在曲线类型的判断，是中档题，借助正方体巧妙地把立体几何与圆锥曲线有机地结合在一起，是一道好题．