Question

19．已知平面向量满足：$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PM}$，|$\overrightarrow{QA}$|=|$\overrightarrow{QB}$|=2，若|$\overrightarrow{QM}$|＜1，则|$\overrightarrow{PQ}$|的取值范围是$（\sqrt{7}，2\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 根据已知条件以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，P点和M点关于原点对称，点Q在y轴上，从而设出P，M，A，B，Q的坐标：P（x，y），M（-x，-y），A（a，0），B（-a，0），Q（0，-$\sqrt{4-{a}^{2}}$），从而根据|PO|=|a|，0≤|$\overrightarrow{QM}$|＜1便得到3＜2y $\sqrt{4-{a}^{2}}$≤4，根据两点间距离公式从而求出|$\overrightarrow{PQ}$|2的范围，从而得出|$\overrightarrow{PQ}$|范围．

解答 解：如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系；设P在x轴上方，
|$\overrightarrow{QA}$|=|$\overrightarrow{QB}$|=2，∴Q点在y轴上；
设P（x，y），M（-x，-y），A（a，0），Q（0，-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）；
△PAB为Rt△；
∴|PO|=|a|，又0≤|$\overrightarrow{QM}$|＜1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}\\ 0≤{x}^{2}+（{y-\sqrt{4-{a}^{2}}）}^{2}＜1\end{array}\right.$
∴3＜2y$\sqrt{4-{a}^{2}}$≤4；
|$\overrightarrow{pq}$|2=x2+（y+$\sqrt{4-{a}^{2}}$）2=2y$\sqrt{4-{a}^{2}}$+4；
∴7＜|$\overrightarrow{PQ}$|2≤8；
∴$\sqrt{7}$＜|$\overrightarrow{PQ}$|≤2$\sqrt{2}$；
∴|$\overrightarrow{PQ}$|的取值范围为（$\sqrt{7}$，2$\sqrt{2}$]．
故答案为：（$\sqrt{7}，2\sqrt{2}$]．

点评 本题考查通过建立平面直角坐标系解决向量问题、几何问题的方法，中垂线上的点到线段两端的距离相等，关于原点对称的点的坐标的关系，以及两点间距离公式．