Question

11．已知函数f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$（a＞0），若a∈（$\frac{1}{2}$，1），f（x）存在两个极值点x₁，x₂．试比较f（x₁）+f（x₂）与f（0）的大小．

Answer 1

分析 求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+$\frac{2}{t}$-2，运用导数，判断单调性，即可得到结论

解答 解：f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$（a＞0），x＞-$\frac{1}{a}$，
f′（x）=$\frac{a}{1+ax}$-$\frac{4}{（x+2）^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-4（1-a）}{（1+ax）（x+2）^{2}}$，
由于$\frac{1}{2}$＜a＜1，则a（1-a）∈（0，$\frac{1}{4}$），-$\frac{1}{a}$＜-$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，
ax²-4（1-a）=0，解得x=±$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，
f（x₁）+f（x₂）=ln[1+2$\sqrt{a（1-a）}$]+ln[1-2$\sqrt{a（1-a）}$]-$\frac{4\sqrt{1-a}}{2\sqrt{1-a}+2\sqrt{a}}$-$\frac{4\sqrt{1-a}}{-2\sqrt{1-a}+2\sqrt{a}}$，
即f（x₁）+f（x₂）=ln[（1-2a）²]+$\frac{4-4a}{2a-1}$=ln[（1-2a）²]+$\frac{2}{2a-1}$-2，
设t=2a-1，当＜a＜1，0＜t＜1，则设f（x₁）+f（x₂）=g（t）=lnt²+$\frac{2}{t}$-2，
当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+$\frac{2}{t}$-2，
∴g′（t）=$\frac{2}{t}$-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{2（t-1）}{{t}^{2}}$＜0，
g（t）在0＜t＜1上递减，g（t）＞g（1）=0，即f（x₁）+f（x₂）＞f（0）=0恒成立，
综上述f（x₁）+f（x₂）＞f（0）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查构造函数，运用导数判断单调性，运用单调性比较大小，属于中档题．