Question

20．若函数f（x）=ax²+bx+c在x=-1，0，1三点处的函数值的绝对值均不大于1，当x∈[-1，1]时，求证：|ax+b|≤2．

Answer 1

分析 通过函数f（x）=ax²+bx+c在x=-1，0，1三点处的函数值的绝对值均不大于1可知|f（0）|=|c|≤1、|f（1）|=|a+b+c|≤1、|f（-1）|=|a-b+c|≤1，利用函数y=ax+b在[-1，1]上单调可知|ax+b|≤max{|a+b|、|-a+b|}，利用绝对值不等式的性质即得结论．

解答 证明：依题意，|f（0）|=|c|≤1，
|f（1）|=|a+b+c|≤1，
|f（-1）|=|a-b+c|≤1，
∵函数y=ax+b在[-1，1]上单调，
∴|ax+b|≤max{|a+b|，|-a+b|}，
又∵|a+b|≤|a+b+c|+|-c|≤2，
|a-b|≤|a-b+c|+|-c|≤2，
∴|ax+b|≤2．

点评 本题考查不等式的证明，涉及绝对值不等式的性质、函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．