Question

2．已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2$\sqrt{2}$的正方形，PD=4，E，F是PB上的动点，且EF=2．
（1）求证：AC⊥平面PDB；
（2）求三棱锥F-AEC的体积；
（3）若点G在PA上运动，且满足$\frac{PG}{PA}$=$\frac{PF}{PB}$=x，试将三棱锥A-DGF的体积V表示为x的函数，并求体积V的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知结合线面垂直的判断得答案；
（2）把三棱锥F-AEC的体积转化为以OEF为底面，分别以OA、OC为高的两个三棱锥的体积求解；
（3）由平行线截线段成比例定理，把三棱锥A-DGF（F-ADG）的底面ADG的高及棱锥的高GF用含x的代数式表示，代入三棱锥体积公式，化为关于x的函数，由二次函数求得最大值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB；
（2）解：∵四边形ABCD是边长为2$\sqrt{2}$的正方形，∴BD=4，
又PD=4，∴D到PB的距离为$2\sqrt{2}$，
设AC∩BD=O，则O到PB的距离为$\sqrt{2}$．
连接OE，OF，∴${S}_{△OEF}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$．
∴${V}_{F-AEC}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×4=\frac{4\sqrt{2}}{3}$；
（3）解：∵$\frac{PG}{PA}$=$\frac{PF}{PB}$=x，∴$\frac{GF}{AB}=\frac{GF}{2\sqrt{2}}=x$，
∴$GF=2\sqrt{2}x$．
设G到AD的距离为h，由平行线截线段成比例定理可得：$\frac{4-h}{4}=x$，
∴h=4-4x，
∴${S}_{△ADG}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（4-4x）=4\sqrt{2}（1-x）$，
∴三棱锥A-DGF的体积V=$\frac{1}{3}•{S}_{△ADG}•FG$=$\frac{1}{3}•4\sqrt{2}（1-x）•2\sqrt{2}x$=$\frac{16}{3}（-{x}^{2}+x）$．
∵PB=$4\sqrt{2}$，EF=2，∴0$＜x＜\frac{4\sqrt{2}-2}{4\sqrt{2}}$=$1-\frac{\sqrt{2}}{4}$．
则$V=\frac{16}{3}（-{x}^{2}+x）$，0$＜x＜1-\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴当x=$\frac{1}{2}$时，V取得最大值为$\frac{4}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．